Modelo de átomo de Sommerfeld

Modelo Atómico de Sommerfeld
Para explicar la estructura fina observada de las líneas espectrales, Sommerfeld introdujo dos modificaciones principales en la teoría de Bohr. Según Sommerfeld, la trayectoria de un electrón alrededor del núcleo, en general, es una elipse con el núcleo en uno de sus focos.

La velocidad del electrón que se mueve en una órbita elíptica varía en diferentes partes de la órbita. Esto provoca la variación relativista en la masa del electrón en movimiento.

Ahora, cuando se permiten las órbitas elípticas, uno tiene que lidiar con dos cantidades variables.

  • La distancia variable del electrón al núcleo (r).
  • La posición angular variable del electrón con respecto al núcleo, es decir, el ángulo azimutal φ (Fig).

ecuacion

Para hacer frente a estas dos variables, se introducen dos números cuánticos

El número cuántico principal n de la teoría de Bohr, que determina la energía de los electrones, y  un nuevo número cuántico llamado número cuántico orbital (o azimutal) (l) que se ha introducido para caracterizar el momento angular en una órbita, es decir, determina el momento angular orbital del electrón. Sus valores varían de cero a (n-1) en pasos de unidad.

Este número cuántico orbital ( l ) es útil para encontrar las posibles órbitas elípticas. Las posibles órbitas elípticas son tales que

b / a = l + 1 / n

donde a y b son ejes semi-mayor y semi-menor respectivamente de la elipse.

Según el modelo de Sommerfeld, para cualquier número cuántico principal n , existen n órbitas posibles de excentricidades variables llamadas subórbitas o subcapas. De n subcapas, una es circular y las restantes (es decir, n -1) tienen forma elíptica.

Estas posibles subórbitas poseen energías ligeramente diferentes debido a la variación relativista de la masa del electrón.

Considere el primer nivel de energía ( n = 1). Cuando n = 1, l = 0, es decir, en este nivel de energía, solo hay una órbita o subcapa para el electrón. Además, cuando a = b , los dos ejes de la elipse son iguales. Como resultado de esto, la órbita correspondiente an = 1 es circular. Esta subcapa se designa como subcapa s . Dado que esta subcapa pertenece a n = 1, se designa como 1s.

atomos

De manera similar, para el segundo nivel de energía n = 2, hay dos subcapas admisibles para los electrones. Para n = 2, l puede tomar dos valores, 0 y 1.

Cuando n = 2, l = 0.

b / a = 0 + 1/2 = 1/2

o

b = a / 2

Esta subcapa correspondiente a l = 0 tiene forma elíptica y se designa como 2s.

cuando n = 2, l = 1.

b / a = 1 + 1/2 = 2/2 = 1

o

b = a

Esta subcapa correspondiente a l = 1 tiene forma circular y se designa como 2 p (Fig. B).

Para n = 3, l tiene tres valores 0, 1 y 2, es decir, hay tres subcapas admisibles para los electrones.

cuando n = 3, l = 0.

b / a = (0 + 1) / 3 = 1/3 = 1 o b = a / 3

 cuando n = 3, l = 1.

b / a = (1 + 1) / 3 = 2/3 = 1 o b = 2a / 3

y cuando n = 3, l = 2.

b / a = (2 + 1) / 3 = 3/3 = 1 o b = a

Las subcapas que corresponden a l = 0, 1 y 2 se designan como 3s, 3 py 3 d respectivamente. La carcasa circular se designa como 3 dy las otras dos tienen forma elíptica (Fig. C).

Es una práctica común asignar letras a los valores l como se indica a continuación:

Número cuántico orbital l: 0 1 2 3 4

estado del electrón: s p d f g

Por lo tanto, se dice que los electrones en los estados l = 0, 1, 2, 3 están en los estados s, p, d, f .

 

Estructura fina de línea espectral

Basado en el modelo de átomo de Sommerfeld, la energía total de un electrón en la órbita elíptica se puede mostrar como,

En = (-me 4 Z 2 ) / (8ε 2 h 2 n 2 )

Esta expresión es la misma que la obtenida por Bohr. Por lo tanto, la introducción de órbitas elípticas no proporciona nuevos niveles de energía y, por tanto, ninguna nueva transición. De esta forma, el intento de Sommerfeld de explicar la fina estructura de las líneas espectrales fracasó. Pero pronto, sobre la base de la variación de la masa del electrón con la velocidad, Sommerfeld pudo encontrar la solución al problema de la estructura fina de las líneas espectrales.

atomo

Según Sommerfeld, la velocidad del electrón es máxima cuando el electrón está más cerca del núcleo y mínima cuando está más lejos del núcleo, ya que la órbita del electrón es elíptica. Esto implica que la masa efectiva del electrón será diferente en diferentes partes de su órbita. Teniendo en cuenta la variación relativista de la masa del electrón, Sommerfeld modificó su teoría y demostró que el camino del electrón no es una elipse simple sino una elipse en precesión llamada roseta (Fig).

Basado en esta idea, Sommerfeld explicó con éxito la fina estructura de las líneas espectrales del átomo de hidrógeno.

Inconvenientes

Aunque la modificación de Sommerfeld proporcionó un trasfondo teórico de la estructura fina de las líneas espectrales de hidrógeno, no pudo predecir el número correcto de estructuras finas observadas de estas líneas.

  •  No pudo explicar la distribución y disposición de los electrones en los átomos.
  • El modelo de Sommerfeld no pudo explicar los espectros de metales alcalinos como sodio, potasio, etc.
  • No pudo explicar el efecto Zeeman y Stark.
  • Este modelo no da ninguna explicación de las intensidades de las líneas espectrales.